已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组( )

admin2019-03-11 31

问题已知向量组α₁，α₂，α₃，α₄线性无关，则向量组( )

选项 A、α₁一α₂，α₂一α₃，α₃一α₄，α₄一α₁线性无关。
B、α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₄，α₄+α₁线性无关。
C、α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₄，α₄一α₁线性无关。
D、α₁+α₂，α₂+α₃，α₃一α₄，α₄一α₁线性无关。

答案C

解析方法一：因向量组α₁，α₂，α₃，α₄线性无关，所以由向量组α₁，α₂，α₃，α₄到向量组α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₄，α₄一α₁的过渡矩阵A=

，即
(α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₄，α₄一α₁)=(α₁，α₂，α₃，α₄)A。
由于|A|=2≠0，所以过渡矩阵A可逆，因此向量组α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₄，α₄一α₁线性无关，故选C。
类似地，可以判断其他三个选项中的过渡矩阵均不可逆，所以A、B、D三项中的向量组均线性相关。
方法二：排除法
通过观察可知
(α₁一α₂)+(α₂一α₃)+(α₃一α₄)+(α₄一α₁)=0，
(α₁+α₂)一(α₂+α₃)+(α₃+α₄)一(α₄+α₁)=0，
(α₁+α₂)一(α₂+α₃)+(α₃一α₄)+(α₄一α₁)=0，
即A,B,D三项中的向量组均线性相关，故选C。

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