已知∫0x(x-t)f(t)dt=1-cosx,证明f(x)dx=1.

admin2015-06-13  49

问题 已知∫0x(x-t)f(t)dt=1-cosx,证明f(x)dx=1.

选项

答案证明将已知等式展开得 x∫0f(t)dt-∫0xtf(t)dt=1-cosx,等式两边对x求导得 ∫0xf(t)dt+xf(x)-xf(x)=sinx, 即∫0xf(t)dt=sinx, [*]

解析 本题主要考查定积分中的积分变量概念,以及变上限定积分的求导计算,已知等式左端是对变量t积分,所以被积函数中的x相对于t而言是常量,可以提到积分号外,这点是需要注意的.
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