设A是三阶实对称矩阵，满足A3=2A2+5A一6E，且kE+A是正定阵，则k的取值范围是________。

admin2017-12-29 36

问题设A是三阶实对称矩阵，满足A³=2A²+5A一6E，且kE+A是正定阵，则k的取值范围是________。

选项

答案k＞2

解析根据题设条件，则有A³一2A²—5A+6E=0。设A有特征值λ，则λ满足条件λ³一2λ²一5λ+6=0，将其因式分解可得
λ³一2λ²一5λ+6=（λ一1）（λ+2）（λ一3）=0，
因此可知矩阵A的特征值分别为1，一2，3，故kE+A的特征值分别为k+1，k一2，k+3，且当k＞2时，kE+A的特征值均为正数。故k＞2。

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