2. 考研
  3. 设α1=(1，1，1)，α2=(1，2，3)，α3=(1，3，t) 　　(1)问当t为何值时，向量组α1，α2，α3线性无关? 　　(2)问当t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关? 　　(3)当向量组α1，α2，α3线性相关时，将α3表示为α1和α2

设α1=(1，1，1)，α2=(1，2，3)，α3=(1，3，t) 　　(1)问当t为何值时，向量组α1，α2，α3线性无关? 　　(2)问当t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关? 　　(3)当向量组α1，α2，α3线性相关时，将α3表示为α1和α2

admin2015-09-12  28
问题 设α1=(1，1，1)，α2=(1，2，3)，α3=(1，3，t)
　　(1)问当t为何值时，向量组α1，α2，α3线性无关?
　　(2)问当t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关?
　　(3)当向量组α1，α2，α3线性相关时，将α3表示为α1和α2的线性组合．
选项
答案解1 由于行列式 [*]所以，当t≠5时，D≠0，此时向量组α1，α2，α3线性无关； 当t=5时，D=0，此时向量组α1，α2，α3线性相关． 当t=5时，对矩阵[αT1，αT2∣αT3]作初等行变换： [*]由此即知α3=一α1+2α2． 解2 对矩阵A=[αT1，αT2，αT3]作初等行变换： [*]由此可知，当t≠5时，r(A)=3，此时向量组α1，α2，α3线性无关；当t=5时，r(A)=2，此时向量组α1，α2，α3线性相关，此时，有 [*]于是得α3=一α1+2α2．
解析 本题主要考查向量组的线性相关性与向量组所构成矩阵的秩的关系，以及如何求解线性表示的问题．注意，向量β由向量组α1，…，αn线性表示的问题，等价于一个非齐次线性方程组的问题，这个方程组的增广矩阵为
   
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考研数学三

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