设随机变量X的分布函数为F(x)=，求： (1)P{X=0}，P{X=1}； (2)EX； (3)y=F(x)的分布函数。

admin2021-04-16 29

问题设随机变量X的分布函数为F(x)=

，求：
(1)P{X=0}，P{X=1}；
(2)EX；
(3)y=F(x)的分布函数。

选项

答案(1)P{X=0}=F(0)-F(0-O)=0-0=0，P{X=1}=F(1)-F(1-0)=1-(1／2)=1／2。 (2)如图所示，分布函数F(x)在x=0，x=1处不可导，在开区间(0，1)内可导且不为零，有f(x)=F’(x)=1／2，故 EX=0×P{X=0}+∫₀¹xf(x)dx+1×P{X=1} =0+∫₀¹(1／2)xdx+1×(1／2)=3／4， (3)F_Y(y)=P{Y≤y}=P{F(X)≤y}，其中 [*] 当y＜0时，F_Y(y)=P{[*]}=0；当0≤y＜1／2时，F_Y(y)=p{(1／2)X≤y}=P{X≤2y}=F(2y)=y；当1／2≤y＜1时，F_Y(y)=P{x＜1}=F(1-0)=1／2；当y≥1时，F_Y(y)=P{Ω}=1，故[*]为y=F(x)的分布函数。

解析

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