2. 考研
  3. 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(b)=g(a)=1，在(a，b)内f(x)与g(x)可导，且g(x)+g’(x)≠0，f’(x)≠0。证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得

设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(b)=g(a)=1，在(a，b)内f(x)与g(x)可导，且g(x)+g’(x)≠0，f’(x)≠0。证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得

admin2018-12-27  54
问题 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(b)=g(a)=1，在(a，b)内f(x)与g(x)可导，且g(x)+g’(x)≠0，f’(x)≠0。证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得
            
选项
答案作辅助函数φ(x)=exg(x)，则φ’(x)=ex[g(x)+g’(x)]。于是f(x)和φ(x)在[a，b]上满足柯西中值定理，故存在一点ξ∈(a，b)，使得 [*] 又g(a)=g(b)=1，故有[*] 再作辅助函数ψ(x)=ex，则ψ’(x)=ex，故有f(x)，ψ(x)在[a，b]上满足柯西中值定理，于是必存在一点η∈(a，b)，使得 [*] 综合式(1)，(2)可得[*] 即[*]
解析
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考研数学一

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