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设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,且g(b)=g(a)=1,在(a,b)内f(x)与g(x)可导,且g(x)+g’(x)≠0,f’(x)≠0。证明:存在ξ,η∈(a,b),使得
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,且g(b)=g(a)=1,在(a,b)内f(x)与g(x)可导,且g(x)+g’(x)≠0,f’(x)≠0。证明:存在ξ,η∈(a,b),使得
admin
2018-12-27
49
问题
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,且g(b)=g(a)=1,在(a,b)内f(x)与g(x)可导,且g(x)+g’(x)≠0,f’(x)≠0。证明:存在ξ,η∈(a,b),使得
选项
答案
作辅助函数φ(x)=e
x
g(x),则φ’(x)=e
x
[g(x)+g’(x)]。于是f(x)和φ(x)在[a,b]上满足柯西中值定理,故存在一点ξ∈(a,b),使得 [*] 又g(a)=g(b)=1,故有[*] 再作辅助函数ψ(x)=e
x
,则ψ’(x)=e
x
,故有f(x),ψ(x)在[a,b]上满足柯西中值定理,于是必存在一点η∈(a,b),使得 [*] 综合式(1),(2)可得[*] 即[*]
解析
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考研数学一
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