[2012年] 已知二次型f(x1,x2,x3)=XT(ATA)X的秩为2. 求正交变换X=QY将f化为标准形.

admin2019-06-25  60

问题 [2012年]  已知二次型f(x1,x2,x3)=XT(ATA)X的秩为2.
求正交变换X=QY将f化为标准形.

选项

答案令[*] [*] 故B=ATA的特征值为λ1=2,λ2=6,λ3=0. 解(2E-B)X=0,得线性无关的特征向量α1=[1,-1,0]T; 解(6E-B)X=0,得线性无关的特征向量α2=[1,1,2]T; 解(0E-B)X=0,得线性无关的特征向量α3=[1,1,-1]T. 因λ1,λ2,λ3互异,B为实对称矩阵,故α1,α2,α3必正交,故只需单位化,得到 [*] 令Q=[β1,β2,β3],则Q为正交矩阵,在正交变换X=QY下,有 QTBQ=QT(ATA)Q=A=diag(2,6,0), 即二次型f化为标准形f=2y12+6y22

解析
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