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设f(x)在区间[0,a]上严格递增且连续,f(0)=0,g(x)为f(x)的反函数,试证成立等式:∫0af(x)dx=∫0f(a)[a-g(x)]dx.
设f(x)在区间[0,a]上严格递增且连续,f(0)=0,g(x)为f(x)的反函数,试证成立等式:∫0af(x)dx=∫0f(a)[a-g(x)]dx.
admin
2022-11-23
25
问题
设f(x)在区间[0,a]上严格递增且连续,f(0)=0,g(x)为f(x)的反函数,试证成立等式:∫
0
a
f(x)dx=∫
0
f(a)
[a-g(x)]dx.
选项
答案
设y=f(x),则x=g(y),注意到f(0)=0,故 ∫
0
a
f(x)dx=∫
f(0)
f(a)
yd(g(y))=yg(y)|
f(0)
f(a)
-∫
f(0)
f(a)
g(y)dy =f(a)g(f(a))-∫
0
f(a)
g(y)dy=af(a)-∫
0
f(a)
g(x)dx =∫
0
f(a)
[a-g(x)]dx.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/dn2iFFFM
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考研数学三
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