2. 考研
  3. 设有曲面S：=1，平面∏：2x+2y+z+5=0． (Ⅰ)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程； (Ⅱ)求曲面S与平面∏之间的最短距离．

设有曲面S：=1，平面∏：2x+2y+z+5=0． (Ⅰ)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程； (Ⅱ)求曲面S与平面∏之间的最短距离．

admin2016-10-26  30
问题 设有曲面S：=1，平面∏：2x+2y+z+5=0．
(Ⅰ)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程；
(Ⅱ)求曲面S与平面∏之间的最短距离．
选项
答案(Ⅰ)先写出曲面S上任意点(x0，y0，z0)处的切平面方程． 记S的方程为F(x，y，z)=0，F(x，y，z)=[*]－1，则S上点M0(x0，y0，z0)处的切平面方程为 F′x(M0)(x－x0)+F′y(M0)(y－y0)+F′z(M0)(z－z0)=0， 其中F′x(M0)=x0， F′y(M0)=2y0， F′z(M0)=[*]z0． 该切平面与平面∏平行[*]它们的法向量共线即成比例[*]=λ，且 2x0+2y0+z0+5≠0． 因为M0(x0，y0，z0)在S上，所以它满足方程 [*] 即4λ2=1．λ=±[*]于是，(x0，y0，z0)=±(1，[*]，1)显然，(x0，y0，z0)不在平面∏上． 相应的切平面方程是 [*] 即 x+y+[*]z－2=0， x+y+[*]z+2=0． 这就是曲面S上平行于平面∏的切平面方程． (Ⅱ)椭球面S是夹在上述两个切平面之间，故曲面S上切点到平面∏的距离最短或最长 [*] 因此，曲面S到平面∏的最短距离为d2=[*]
解析
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考研数学一

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