设f(x)>0,f"(x)在(一∞,+∞)内连续,令φ(x)= (1)求φ’(x),并讨论φ’(x)的连续性. (2)证明φ(x)单调递增.

admin2017-07-26  40

问题 设f(x)>0,f"(x)在(一∞,+∞)内连续,令φ(x)=
(1)求φ’(x),并讨论φ’(x)的连续性.
(2)证明φ(x)单调递增.

选项

答案(1)当x≠0时, [*] 于是,当x≠0时,f(x)>0,[∫0xf(t)dt]2>0,φ’(x)连续. 又 [*] 所以φ’(x)在x=0处连续. (2)要证φ(x)单调递增,只要证明φ’(x)≥0.因为φ’(x)=[*],又f(x)>0,[∫0xf(t)dt]2≥0,只需证明g(x)=∫0x(x—t)f(t)dt≥0. 当x=0时,g(0)=0;当x>0时,g’(x)=∫0xf(t)dt>0;当x<0时,g’(x)=一∫0xf(t)dt<0.因此,当x<0时,g(x)严格递减,当x>0时,g(x)严格递增,而g(0)=0为最小值,故g(x)≥0,并且仅当x=0时,g(0)=0.

解析
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