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  3. 设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2)．证明：方程fn(x)=1有唯一的正根xn；

设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2)．证明：方程fn(x)=1有唯一的正根xn；

admin2022-10-09  35
问题 设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2)．证明：方程fn(x)=1有唯一的正根xn；
选项
答案令φn(x)=fn(x)-1，因为φn(0)=-1＜0，φn(1)=n-1＞0，所以φn(x)在(0，1)∈(0，+∞)内有一个零点，即方程fn(x)=1在(0，+∞)内有一个根，因为φ’n(x)=1+2x+…+nxn-1＞0，所以φn(x)在(0，+∞)内单调增加，所以φn(x)在(0，+∞)内的零点唯一，所以方程fn(x)=1在(0，+∞)内有唯一正根，记为xn．
解析
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考研数学三

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