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已知f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,试证,在(0,1)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)cosξ=f(ξ)sinξ成立.
已知f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,试证,在(0,1)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)cosξ=f(ξ)sinξ成立.
admin
2016-04-13
20
问题
已知f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,试证,在(0,1)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)cosξ=f(ξ)sinξ成立.
选项
答案
令F(x)=f(x)cosx,F’(x)=f’(x)cos—f(x)sin x 因为f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,所以F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,又因为f(0)=f(1)=0,所以F(0)=F(1)=0由罗尔定理有,在(0,1)内至少存在一点ξ,使得F’(ξ)=0,即 f’(ξ)cosξ-f(ξ)sinξ=0,即f’(ξ)cosξ=f(ξ)sinξ
解析
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数学
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