利用球坐标计算下列三重积分： zdxdydz，Ω由曲面x2+y2+(z-a)2≤a2与x2+y2≤z2所确定．

admin2023-03-22 45

问题利用球坐标计算下列三重积分：

zdxdydz，Ω由曲面x²+y²+(z-a)²≤a²与x²+y²≤z²所确定．

选项

答案在球坐标系里Ω的上边界直角坐标方程为x²+y²+z²=2az，其球坐标系下球面方程为r=2acosφ，下边界曲面方程为φ=π／4，由此可知Ω可以表示为0≤r≤2acosφ，0≤φ≤π／4，0≤θ≤2π， [*]zdxdydz=∫₀^2πdθ∫₀^π／4sinφcosφdφ∫₀^2acosφr³dr =2π·4a⁴∫₀^π／4sinφcos⁵φdφ=8πa⁴(-∫₀^π／4cos⁵φdcosφ) [*]

解析

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考研数学一

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