设曲线(0＜a＜4)与x轴、y轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得立体体积为V1(a)，绕y轴旋转所得立体体积为V2(a)，问a为何值时，V1(a)+V2(a)最大，并求最大值．

admin2019-09-04 39

问题设曲线

(0＜a＜4)与x轴、y轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得立体体积为V₁(a)，绕y轴旋转所得立体体积为V₂(a)，问a为何值时，V₁(a)+V₂(a)最大，并求最大值．

选项

答案曲线与x轴和y轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中b=4-a．曲线可化为 y=[*]，对任意的[x，x+dx][*][0，a]， dV₂=2πx.ydx=2πx[*] 于是V₂=2π∫₀^ax.[*]a²b，根据对称性，有V₁=[*]ab²．于是V(a)=V₁(a)+V₂(a)=[*]a(4-a)．令V’(a)=[*](4-2a)=0[*]a=2，又V’’(2)＜0，所以a=2时，两体积之和最大，且最大值为V(2)=[*]

解析

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考研数学三

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