设f（x）可导，F（x）=f（x）（1+|sinx|），则f（0）=0是F（x）在x=0处可导的（）

admin2020-03-24 28

问题设f（x）可导，F（x）=f（x）（1+|sinx|），则f（0）=0是F（x）在x=0处可导的（）

选项 A、充分必要条件
B、充分条件但非必要条件
C、必要条件但非充分条件
D、既非充分条件也非必要条件

答案A

解析令φ（x）=f（x）|sinx|，显然φ（0）=0。由于

而由φ（x）在x=0处可导的充分必要条件是φ₊^’（0）与φ_—^’（0）都存在且相等可知，若f（0）=0，则必有φ₊^’（0）=φ_—^’（0）；若φ₊^’（0）=φ₊^’ （0），即有f（0）=一f（0），从而f（0）=0。因此f（0）=0是φ（x）在x=0处可导的充分必要条件，也是F（x）在x=0处可导的充分必要条件。故选A。

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