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  3. 假设测量的随机误差X～N(0，102)，试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19．6的概率α，并利用泊松定理求出α的近似值(e－5=0．007)．

假设测量的随机误差X～N(0，102)，试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19．6的概率α，并利用泊松定理求出α的近似值(e－5=0．007)．

admin2017-10-25  39
问题 假设测量的随机误差X～N(0，102)，试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19．6的概率α，并利用泊松定理求出α的近似值(e－5=0．007)．
选项
答案记事件A=“100次独立测量中至少有3次测量误差X的绝对值大于19．6”=“100次独立测量中，事件{｜X｜＞19．6}至少发生3次”，依题意，所求α=P(A)，如果记事件C={｜X｜＞19．6}，Y表示100次独立测量中事件C发生的次数，则事件A={Y≥3}，Y～B(100，p)，其中p=P(C)． p=P(C)=P{｜X｜＞19．6}=1—P{｜X｜≤19．6} =1一P{一19．6≤X≤19．6}=1一[*] =2[1一φ(1．96)]=2×0．025=0．05， 因此所求的概率 α=P(A)=P{Y≥3}=1一P{Y＜3} =1—P{Y=0}一P{Y=1}一P{Y=2}， 其中P{Y=k}=C100kPk(1一p)100－k=C100k×0．05k×0．95100－k． 由于n=100充分大，p=0．05很小，np=100×0．05=5适中，显然满足泊松定理的条件，可认为Y近似服从参数为5的泊松分布，因此P{Y=k}≈[*]e－λ，其中λ=np=5，于是α≈1－e－5－5e－5－[*]e－5=1－18．5e－5=0．87．
解析
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考研数学三

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