2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上可导，f(0)=0，|f’(x)|≤|f(x)|．证明：f(x)一=0，x∈[x，1]．

设f(x)在[0，1]上可导，f(0)=0，|f’(x)|≤|f(x)|．证明：f(x)一=0，x∈[x，1]．

admin2016-10-24  11
问题 设f(x)在[0，1]上可导，f(0)=0，|f’(x)|≤|f(x)|．证明：f(x)一=0，x∈[x，1]．
选项
答案因为f(x)在[0，1]上可导，所以f(x)在[0，1]上连续，从而|f(x)|在[0，1]上连续，故|f(x)|在[0，1]上取到最大值M，即存在x0∈[0，1]，使得|f(x0)|=M． 当x0=0时，则M=0，所以f(x)=0，x∈[0，1]； 当x0≠0时，M=|f(x0)|=|f(x0)一f(0)|=|f’(ξ)|x0≤|f’(ξ)|≤[*]|f(ξ)|≤[*]， 其中ξ∈(0，x0)，故M=0，于是f(x)=0，x∈[0，1]．
解析
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考研数学三

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