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设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导,gˊˊ(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0.证明: (1)在(a,b)内,g(x)≠0; (2)(a,b)内至少存在一点ξ,使.
设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导,gˊˊ(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0.证明: (1)在(a,b)内,g(x)≠0; (2)(a,b)内至少存在一点ξ,使.
admin
2016-09-13
27
问题
设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导,gˊˊ(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0.证明:
(1)在(a,b)内,g(x)≠0;
(2)(a,b)内至少存在一点ξ,使
.
选项
答案
(1)设c∈(a,b),g(c)=0. 由g(a)=g(c)=g(b)=0,g(x)在[a,c],[c,b]上两次运用罗尔定理可得gˊ(ξ
1
)=gˊ(ξ
2
)=0,其中ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),对gˊ(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上运用罗尔定理,可得gˊˊ(ξ
3
)=0. 因已知gˊˊ(x)≠0,故g(c)≠0. (2)F(x)=f(x)gˊ(x)-fˊ(x)g(x)在[a,b]上运用罗尔定理, F(a)=0,F(b)=0, 故[*]
解析
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考研数学三
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