2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，gˊˊ(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0．证明： (1)在(a，b)内，g(x)≠0； (2)(a，b)内至少存在一点ξ，使．

设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，gˊˊ(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0．证明： (1)在(a，b)内，g(x)≠0； (2)(a，b)内至少存在一点ξ，使．

admin2016-09-13  29
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，gˊˊ(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0．证明：
(1)在(a，b)内，g(x)≠0；
(2)(a，b)内至少存在一点ξ，使．
选项
答案(1)设c∈(a，b)，g(c)=0． 由g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x)在[a，c]，[c，b]上两次运用罗尔定理可得gˊ(ξ1)=gˊ(ξ2)=0，其中ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，对gˊ(x)在[ξ1，ξ2]上运用罗尔定理，可得gˊˊ(ξ3)=0． 因已知gˊˊ(x)≠0，故g(c)≠0． (2)F(x)=f(x)gˊ(x)－fˊ(x)g(x)在[a，b]上运用罗尔定理， F(a)=0，F(b)=0， 故[*]
解析
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考研数学三

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