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求下列各微分方程的通解: (Ⅰ)y′=; (Ⅱ)y′=2; (Ⅲ)y′=
求下列各微分方程的通解: (Ⅰ)y′=; (Ⅱ)y′=2; (Ⅲ)y′=
admin
2016-10-26
21
问题
求下列各微分方程的通解:
(Ⅰ)y′=
;
(Ⅱ)y′=2
;
(Ⅲ)y′=
选项
答案
(Ⅰ)该方程属于[*]=f(ax+by)的情形.令u=2x-y,则原方程化为 u′=2-y′=2-[*]. 这也是一个变量可分离的方程,即[*]u=dx.积分即得其通解为(2x-y-3)
2
=Ce
y-x
,其中C为任意常数. (Ⅱ)该方程属于[*]≠0的情形.解线性方程组[*] 其解为(3,-2).令u=x-3,v=y+2,则原方程化为[*] 这是一个齐次方程,再令z=[*],该方程又可化为[*]两端求积分,即得 ln|z|+2arctanz=-ln|u|+lnC
1
. 所以,其通解为y=C[*]-2,其中C为任意常数. (Ⅲ)令u=y
2
/x,则u′=[*]tanu. 这也是一个变量可分离的方程[*].两边积分得lnsinu=lnx+lnC,即sinu=Cx, 故其通解为sin[*]=Cx,其中C为任意常数.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/XxwRFFFM
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考研数学一
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