设A,B分别为m×n及n×s阶矩阵,且AB=O.证明:r(A)+r(B)≤n.

admin2018-01-23  30

问题 设A,B分别为m×n及n×s阶矩阵,且AB=O.证明:r(A)+r(B)≤n.

选项

答案令B=(β1,β2,…,βs),因为AB=O,所以B的列向量组β1,β2,…,βs为方程组AX= 0的一组解,而方程组AX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为n-r(A),所 以向量组β1,β2,…,βs的秩不超过n-r(A),又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等,因此 r(B)≤n-r(A),即r(A)+r(B)≤n.

解析
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