2. 考研
  3. 设函数f(x)连续，且满足∫0xf(x-t)dt=∫0xf(x-t)f(t)dt+e﹣x﹣1，求f(x)．

设函数f(x)连续，且满足∫0xf(x-t)dt=∫0xf(x-t)f(t)dt+e﹣x﹣1，求f(x)．

admin2022-11-28  15
问题 设函数f(x)连续，且满足∫0xf(x-t)dt=∫0xf(x-t)f(t)dt+e﹣x﹣1，求f(x)．
选项
答案令u=x-t，则∫0xf(x-t)dt=﹣∫x0f(u)du=∫0xf(u)du．因此 　∫0xf(u)du=x∫0xf(t)dt-∫0xtf(t)dt+e﹣x-1． 　两边对x求导，得 　f(x)=∫0xf(t)dt+xf(x)-xf(x)-e﹣x=∫0xf(t)dt-e﹣x· 　上式两边再对x求导，得 f′(x)-f(x)=e﹣x． 　上述方程为一阶非齐次微分方程，由通解公式，可得通解为 　[*]
解析
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考研数学三

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