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设向量组(1):α1,α2,α3;(2):α1,α2,α3,α4;(3):α1,α2,α3,α5,若向量组(1)与向量组(2)的秩为3,而向量组(3)的秩为4.证明:向量组α1,α2,α3,α5-α4的秩为4.
设向量组(1):α1,α2,α3;(2):α1,α2,α3,α4;(3):α1,α2,α3,α5,若向量组(1)与向量组(2)的秩为3,而向量组(3)的秩为4.证明:向量组α1,α2,α3,α5-α4的秩为4.
admin
2022-11-04
27
问题
设向量组(1):α
1
,α
2
,α
3
;(2):α
1
,α
2
,α
3
,α
4
;(3):α
1
,α
2
,α
3
,α
5
,若向量组(1)与向量组(2)的秩为3,而向量组(3)的秩为4.证明:向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
5
-α
4
的秩为4.
选项
答案
因为向量组(1)的秩为3,所以α
1
,α
2
,α
3
线性无关,又因为向量组(2)的秩也为3,所以向量α
4
可由向量组α
1
,α
2
,α
3
线性表示.因为向量组(3)的秩为4,所以α
1
,α
2
,α
3
,α
5
线性无关,即向量α
5
不可由向量组α
1
,α
2
,α
3
线性表示,故向量α
5
-α
4
不可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,所以α
1
,α
2
,α
3
,α
5
-α
4
线性无关,于是向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
5
-α
4
的秩为4.
解析
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