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[2018年]设数列{xn)满足：x1＞0，(n=1．2．…)．证明．{xn)收敛，并求

admin2019-03-30  35
问题 [2018年]设数列{xn)满足：x1＞0，(n=1．2．…)．证明．{xn)收敛，并求
选项
答案证 设f(x)=ex－1－x，x＞0则有 [*] 从而 [*] 猜想xn＞0，现用数学归纳法证明：n=1时，x1＞0，成立． 假设n=k(k=1，2，…)时，有xk＞0，则n=k+1时有 [*] 因此，xn＞0，有下界．再证单调性． [*] 设g(x)=ex－1－xex，x＞0时g’(x)=ex－ex－xex=－xex＜0，所以g(x)单调递减， g(x)x－1x，因此 [*] 即数列{xn)单调递减，故由单调有界准则可知极限[*]存在． 不妨设[*]则AeA=eA－1． 因为g(x)=ex－1－xex只有唯一的零点x=0，所以A=0，即 [*]
解析
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考研数学三

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