[2018年]设数列{xn)满足:x1>0,(n=1.2.…).证明.{xn)收敛,并求

admin2019-03-30  39

问题 [2018年]设数列{xn)满足:x1>0,(n=1.2.…).证明.{xn)收敛,并求

选项

答案证 设f(x)=ex-1-x,x>0则有 [*] 从而 [*] 猜想xn>0,现用数学归纳法证明:n=1时,x1>0,成立. 假设n=k(k=1,2,…)时,有xk>0,则n=k+1时有 [*] 因此,xn>0,有下界.再证单调性. [*] 设g(x)=ex-1-xex,x>0时g’(x)=ex-ex-xex=-xex<0,所以g(x)单调递减, g(x)x-1x,因此 [*] 即数列{xn)单调递减,故由单调有界准则可知极限[*]存在. 不妨设[*]则AeA=eA-1. 因为g(x)=ex-1-xex只有唯一的零点x=0,所以A=0,即 [*]

解析
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