2. 考研
  3. 设三元二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX的正惯性指数p＝1，且二次型A满足A2＋2A一3E＝0，则在正交变换下该二次型的标准形是( )．

设三元二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX的正惯性指数p＝1，且二次型A满足A2＋2A一3E＝0，则在正交变换下该二次型的标准形是( )．

admin2020-01-12  31
问题 设三元二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX的正惯性指数p＝1，且二次型A满足A2＋2A一3E＝0，则在正交变换下该二次型的标准形是(    )．
选项 A、
B、
C、
D、
答案D
解析 先求出A的特征值，确定正负惯性指数，再确定选项．
设λ是矩阵A的特征值，α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，
即    Aα＝λα，  α≠0．
那么由    (A2＋2A－3E)α＝0
有    (λ2＋2λ—3)α＝0，  λ2＋2λ—3＝(λ＋3)(λ－1)＝0．
由此可知，矩阵A的特征值只能是1或一3．
因为A可逆，正惯性指数p＝1，则负惯性指数必为2，所以A的特征值为
λ1＝，  λ2＝λ3＝一3，
从而正交变换下该二次型的标准形为
．仅(D)入选．
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考研数学三

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