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求一个正交变换,化二次型f=x12+4x22+4x32-4x1x2-8x2x3,为标准形.
求一个正交变换,化二次型f=x12+4x22+4x32-4x1x2-8x2x3,为标准形.
admin
2013-10-11
28
问题
求一个正交变换,化二次型f=x
1
2
+4x
2
2
+4x
3
2
-4x
1
x
2
-8x
2
x
3
,为标准形.
选项
答案
二次型的矩阵是[*] 其特征多项式为[*] 所以A的特征值是λ
1
=λ
2
=0,λ
3
=9. 对于是λ
1
=λ
2
=0,由(0E—A)X=0,即[*] 得到基础解系a
1
=(2,1,0)
T
,a
2
=(-2,0,1)
T
,即为属于特征值λ=0的特征向量. 对于λ
3
=9,由(9E—A)x=0,即[*] 得到基础解系a
3
=(1,-2,2)
T
. 由于不同特征值的特征向量已经正交,只需对a
1
,a
2
正交化. [*] 把β
1
,β
2
,a
3
,单位化,有γ
1
=[*] 那么经正交变换[*],二次型f化为标准形f=9y
3
2
.
解析
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考研数学三
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