下列命题正确的个数是( )。 (1)若f(x)是[a,b]上的连续函数,则f(x)在[a,b]上可导; (2)若函数f(x)在[a,b]上可导,则f(x)是[a,b]上的连续函数; (3)“函数f(x)在[a,b]

admin2022-08-05  14

问题 下列命题正确的个数是(          )。
    (1)若f(x)是[a,b]上的连续函数,则f(x)在[a,b]上可导;
    (2)若函数f(x)在[a,b]上可导,则f(x)是[a,b]上的连续函数;
    (3)“函数f(x)在[a,b]上可导”是“函数f(x)在[a,b]上可微”的充要条件:
    (4)若f(x)是(a,b)上的连续函数,则f(x)在(a,b)上可积;
    (5)若函数f(x)在[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积。

选项 A、2
B、3
C、4
D、5

答案B

解析 一元函数在闭区间上可导则一定连续,但在闭区间上连续不一定可导,所以(1)错误,(2)正确。“函数f(x)在[a,b]上可导”的充要条件是“函数f(x)在[a,b]上可微”,所以(3)正确。一元函数在开区间内连续,不一定可积,例如1/x在(0,1)上连续,但,其在(0,1)内不可积,所以(4)错误。一元函数在闭区间上连续或在闭区间上有界且只有有限个间断点,则一定可积,但可积不一定连续,所以(5)正确故本题选B。
    一元函数在闭区间上可积、可导、可微、连续的关系图如下:
   
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