(13年)矩阵相似的充分必要条件为【】

admin2017-05-26 39

问题 (13年)矩阵

相似的充分必要条件为【】

选项 A、a＝0，b＝2．
B、a＝0，b为任意常数．
C、a＝2，b＝0．
D、a＝2，b为任意常数．

答案B

解析 B为对角矩阵，B的特征值为其主对角线元素2，6，0．若A与B相似，则由相似矩阵有相同的特征值，知2为A的一个特征值，从而有

由此得a＝0．当a＝0时，矩阵A的特征多项式为

由此得A的全部特征值为2，b，0．以下可分两种情形：
若b为任意实数，则A为实对称矩阵，由于实对称矩阵必相似于对角矩阵，且对角矩阵的主对角线元素为该实对称矩阵的全部特征值，所以此时A必相似于B．综上可知，A与B相似的充分必要条件为a＝0，b为任意常数．所以只有选项B正确．

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考研数学三

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