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  3. 设矩阵A=相似于矩阵B= (I)求a，b的值； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．

设矩阵A=相似于矩阵B= (I)求a，b的值； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．

admin2015-03-27  63
问题 设矩阵A=相似于矩阵B=
  (I)求a，b的值；
  (Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．
选项
答案(I)由于矩阵A与矩阵B相似，所以 tr(A)＝tr(B)，｜A｜＝｜B｜， 于是 3+a＝2+b，2a-3＝b， 解得 a=4，b=5． (Ⅱ)由(I)知A=[*]B＝[*] 　　 由于矩阵A与矩阵B相似，所以 ｜λE-A｜＝｜λE－B｜＝(λ—1)2(λ一5)． 　　 故A的特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝5． 　 当λ1＝λ2＝1时，解方程组(E一A)x=0，得线性无关的特征向量ξ1＝[*]，ξ2＝[*] 当λ3＝5时，解方程组(5E-A)x＝0，得特征向量ξ3＝[*] 　令P=(ξ1，ξ2，ξ3)=[*]则 P-1AP=[*] 故P为所求可逆矩阵．
解析
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考研数学一

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