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证明:(Ⅰ)对任意正整数n,都有成立; (Ⅱ)设an=,证明{an}收敛。
证明:(Ⅰ)对任意正整数n,都有成立; (Ⅱ)设an=,证明{an}收敛。
admin
2018-12-29
26
问题
证明:(Ⅰ)对任意正整数n,都有
成立;
(Ⅱ)设a
n
=
,证明{a
n
}收敛。
选项
答案
(Ⅰ)令[*],则原不等式可化为[*]<ln(1+x)<x,x>0。 先证明ln(1+x)<x,x>0。 令f(x)=x—ln(1+x)。由于f′(x)=[*]>0,x>0,可知f(x)在[0,+∞)上单调递增。又由于f(0)=0,所以当x>0时,f(x)>f(0)=0。也即ln(1+x)<x,x>0。 [*] 可知g(x)在[0,+∞)上单调递增。又因g(0)=0,所以当x>0时,g(x)>g(0)=0。即 [*] 再代入[*]=x,即可得到所需证明的不等式。 (Ⅱ)a
n+1
—a
n
=[*],可知数列{a
n
}单调递减。 又由不等式[*],可知 a
n
=[*] =ln(n+1)—lnn>0, 因此数列{a
n
}是有界的。由单调有界收敛定理可知数列{a
n
}收敛。
解析
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考研数学一
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