设f(x)二阶可导，f(0)＝0，且f"(x)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有f(a＋b)＞f(a)＋f(b)．

admin2019-11-25 23

问题设f(x)二阶可导，f(0)＝0，且f"(x)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有f(a＋b)＞f(a)＋f(b)．

选项

答案不妨设a≤b，由微分中值定理，存在ξ₁∈(0，a)，ξ₂∈(b，a＋b)，使得[*] 两式相减得f(a＋b)－f(a)－f(b)＝[f’(ξ₂)－f’(ξ₁)]a．因为f”(x)＞0，所以f’(x)单调增加，而ξ₁＜ξ₂，所以f’(ξ₁)＜f’(ξ₂)，故f(a＋b)－f(a)－f(b)＝[f’(ξ₂)－f’(ξ₁)]a＞0，即f(a＋b)>f(a)＋f(b)．

解析

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考研数学三

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