如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．设二面角C—AF—E的大小为θ，求tanθ的最小值．

admin2019-08-05 20

问题如图，已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC₁上，且不与点C重合．

设二面角C—AF—E的大小为θ，求tanθ的最小值．

选项

答案如图2，连接AF，过N作NM⊥AF于M，连接ME．由知EN⊥侧面A₁C，根据三垂线定理得EM⊥AF，所以∠EMN是二面角C—AF—E的平面角，即∠EMN=θ．设∠FAG=α，则0°＜α≤45°．在Rt△CNE中，NE=EC．sin60°=[*]，在Rt△AMN中，MN=AN．sinα=3sinα，故tanθ=[*]，又∵0°＜α≤45°，∴0＜sinα≤[*]，即当α=45°时，tanθ达到最小值，tanθ=[*]，此时F与C₁重合． [*]

解析

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如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．设二面角C—AF—E的大小为θ，求tanθ的最小值．

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