2. 考研
  3. 设矩阵A＝的特征值有一个二重根，求a的值，并讨论矩阵A是否可相似对角化．

设矩阵A＝的特征值有一个二重根，求a的值，并讨论矩阵A是否可相似对角化．

admin2016-05-09  17
问题 设矩阵A＝的特征值有一个二重根，求a的值，并讨论矩阵A是否可相似对角化．
选项
答案矩阵A的特征多项式为 ｜λE－A｜＝[*]＝(λ－2)(λ2－8λ＋18＋3a)， 如果λ＝2是单根，则λ2－8λ＋18＋3a是完全平方，那么有18＋3a＝16，即a＝－[*]． 则矩阵A的特征值是2，4，4，而r(4E－A)＝[*]＝2，故λ＝4只有一个线性 无关的特征向量，从而A不能相似对角化． 如果λ＝2是二重特征值，则将λ＝0代入λ2－8λ＋18＋3a＝0，则有18＋3a＝12，即a＝－2．于是λ2－8λ＋18＋3a＝(λ－2)(λ－6)． 则矩阵A的特征值是2，2，6，而r(2E－A)＝[*]＝1，故λ＝2有两个线性无关的特征向量，从而A可以相似对角化．
解析
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考研数学一

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