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设A,B为同阶方阵, 当A,B均为实对称矩阵时,试证:15题的逆命题成立.
设A,B为同阶方阵, 当A,B均为实对称矩阵时,试证:15题的逆命题成立.
admin
2017-06-14
31
问题
设A,B为同阶方阵,
当A,B均为实对称矩阵时,试证:15题的逆命题成立.
选项
答案
由A,B均为实对称矩阵知,A,B均相似于对角阵.若A,B的特征多项式相等,记特征多项式的根为λ
1
,λ
2
,…,λ
n
,则有 [*] 即存在可逆矩阵P,Q,使 [*] 于是(PQ
-1
)
-1
A(PQ
-1
)=B.故A,B为相似矩阵.
解析
两矩阵相似则特征多项式相同,反之则不成立.这种类似的反问题或逆问题的命题,若不成立,在平时学习时就应当有意识地积累相关的反例.
(2)在构造反例时应注意思路.本题的反例中,若二阶矩阵A,B有两个不同值,则A,B会相似于同一矩阵,从而A,B一定是有两个相同的特征值,且其中至少有一个是不可对角化的.
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/SswRFFFM
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考研数学一
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