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一页长方形白纸,要求印刷的面积为Dcm2,并使所留的页边距分别为:上部与下部的宽度之和为a+b=kcm,左部与右部的宽度之和为c+d=lcm(其中d、k、l均为已知常数).试确定该页纸的长(y)和宽(x),使得它的面积S为最小.
一页长方形白纸,要求印刷的面积为Dcm2,并使所留的页边距分别为:上部与下部的宽度之和为a+b=kcm,左部与右部的宽度之和为c+d=lcm(其中d、k、l均为已知常数).试确定该页纸的长(y)和宽(x),使得它的面积S为最小.
admin
2017-05-31
32
问题
一页长方形白纸,要求印刷的面积为Dcm
2
,并使所留的页边距分别为:上部与下部的宽度之和为a+b=kcm,左部与右部的宽度之和为c+d=lcm(其中d、k、l均为已知常数).试确定该页纸的长(y)和宽(x),使得它的面积S为最小.
选项
答案
如图1—7—2所示, [*] 由题意知,其目标函数为S=xy,且x>l,y>k,约束条件为(x—l)(y一k)=C 不妨设拉格朗日函数为L(x,y,λ)=xy+λ(x—l)(y—k)一D](x>l,y>k). [*] 代入到约束条件中,得Dλ
2
+2Dλ+(D—kl)=0.为了满足条件x>l,y>k,则应取[*] 由实际意义知,当x→l
+
时,y→+∞;同理当y→k
+
时,x→+∞.这都导致目标函数为S=xy→+∞. 所以,这个条件极值问题是不存在最大值的,故上述的驻点就是所求的解.
解析
本题是条件极值的问题,应用拉格朗日乘子法求解.
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/SjwRFFFM
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考研数学一
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