求函数z=x2+y2+2x+y在区域D:x2+y2≤1上的最大值与最小值.

admin2016-09-13  38

问题 求函数z=x2+y2+2x+y在区域D:x2+y2≤1上的最大值与最小值.

选项

答案由于x2+y2≤1是有界闭区域,z=x2+y2+2x+y在该区域上连续,因此一定能取到最大值与最小值. ①解方程组[*] 由于(-1)2+[*]>1,即(-1,[*])不在区域D内,舍去. ②函数在区域内部无偏导数不存在的点. ③再求函数在边界上的最大值点与最小值点,即求z=x2+y2+2x+y满足约束条件x2+y2=1的条件极值点.此时,z=1+2x+y. 用拉格朗日乘数法,作拉格朗日函数L(x,y,λ)=1+2x+y+λ(x2+y2-1), 解方程组[*] 所有三类最值怀疑点仅有两个,由于[*],所以最小值m=1-[*],最大值M=1+[*].

解析
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