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设A为m×n矩阵。证明：对任意m维列向量b，非齐次线性方程组Ax=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m。
设A为m×n矩阵。证明：对任意m维列向量b，非齐次线性方程组Ax=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m。
admin
2015-09-14
47
问题
设A为m×n矩阵。证明：对任意m维列向量b，非齐次线性方程组Ax=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m。
选项
答案
必要性： 由必要性假定，对ε
i
=(0，…，0，1，0，…，0)
T
(第j个分量为1，其余分量均为零)，方程组Ax=ε
j
有解c
j
，即Ac
j
=ε
j
(j=1，2，…，m)，故有[Ac
1
Ac
2
…Ac
m
]=[ε
1
ε
2
…ε
m
]=E
m
，记矩阵c=[c
1
c
2
…c
m
]，则有Ac=E
m
，故有m—r(E
m
)=r(Ac)≤r(A)≤m，[*]r(A)=m； 充分性： 若r(A)=m，则A的行向量组线性无关，故增广矩阵[*]由有解判定定理知方程组Ax=6有解，其中b为任意m维列向量。
解析
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考研数学三
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