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设f(x)在(-∞,a)内可导,f′(x)=β<0.=α>0, 求证:f(x)在(-∞,a)内至少有一个零点.
设f(x)在(-∞,a)内可导,f′(x)=β<0.=α>0, 求证:f(x)在(-∞,a)内至少有一个零点.
admin
2016-10-26
40
问题
设f(x)在(-∞,a)内可导,
f′(x)=β<0.
=α>0, 求证:f(x)在(-∞,a)内至少有一个零点.
选项
答案
由极限的不等式性质,[*]δ>0,当x∈[a-δ,a)时[*]>0,即f(x)<0,也就有f(a-δ)<0.[*]x
0
<a-δ,当x≤x
0
时f′(x)≤[*]<0.于是由微分中值定理知,当x<x
0
,[*]ξ∈(x,x
0
)使得 f(x)=f(x
0
)+f′(ξ)(x-x
0
)≥f(x
0
)+[*](x-x
0
), 由此可得[*]f(x)=+∞. [*]x
1
<a-δ使得f(x
1
)>0.在[x
1
,a-δ]上应用连续函数零点存在性定理,f(x)在(x
1
,a-δ)上至少存在一个零点.
解析
只需由所给条件证明:
x
1
,x
2
,使得f(x
1
)>0,f(x
2
)<0即可.由
>0确定x<a,x靠近a时f(x)的符号,要根据极限的不等式性质来判断.由
f′(x)=β<0确定x<0,|x|充分大时f(x)的符号,要应用微分中值定理(联系函数和它的导数).
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/RqwRFFFM
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考研数学一
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