求下列幂级数的收敛域及其和函数:

admin2019-01-05  40

问题 求下列幂级数的收敛域及其和函数:

选项

答案(Ⅰ)由于[*]均发散,所以其收敛域为(一1,1). 为求其和函数,先进行代数运算,使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数.设 [*] 当x=0时,上面的运算不能进行,然而从原级数可直接得出S(0)=a0=1.综合得幂级数[*]的和函数 [*] 容易看出[*]=1.这就说明S(x)在x=0处还是连续的,这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质. (Ⅱ)利用同样的方法容易求得级数[*]n(n+1)xn的收敛域为(一1,1). 令S(x)=[*]n(n+1)xn—1应先进行两次逐项积分.即 [*]

解析
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