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设A为m×n矩阵,B是n×m矩阵,证明:AB和BA有相同的非零特征值.
设A为m×n矩阵,B是n×m矩阵,证明:AB和BA有相同的非零特征值.
admin
2017-06-14
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问题
设A为m×n矩阵,B是n×m矩阵,证明:AB和BA有相同的非零特征值.
选项
答案
令λ为BA的一个非零特征值,α是BA的属于λ的特征向量,则BAα=λα(α≠0). 在此等式两端左乘矩阵A,则 A(BAα)=AB(Aα)=λ(Aα)(α≠0) 再证Aα≠0.事实上,若Aα=0,则 BAα=B.0=0=λα(α≠0), 于是λ=0,矛盾. 所以Aα≠0.于是λ为AB的非零特征值,且Aα是AB的属于λ的特征向量. 同理可证,AB的非零特征值λ也是BA的非零特征值,故AB与BA有相同非零特征值. 如β是AB的属于λ的特征向量,则Bβ是BA的属于λ的特征向量.
解析
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考研数学一
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