2. 考研
  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2． 求作正交变换X=QY，把f(x1，x2，x3)化为标准形．

已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2． 求作正交变换X=QY，把f(x1，x2，x3)化为标准形．

admin2017-10-21  29
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．
求作正交变换X=QY，把f(x1，x2，x3)化为标准形．
选项
答案[*] 得A的特征值为2，2，0． 对特征值2求两个正交的单位特征向量： [*] 得(A一2E)X=0的同解方程组x1—x2=0，求出基础解系η1=(0，0，1)T，η2=(1，1，0)T．它们正交，单位化：[*] 方程x1一x2=0的系数向量(1，一1，0)T和η1，η2都正交，是属于特征值0的一个特征向量，单位化得 [*] 作正交矩阵Q=(α1,α2,α3)，则 [*] 作正交变换X=QY，则f化为Y的二次型f=2y12+2y22．
解析
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考研数学三

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