已知α=(1，-2，2)T是二次型xTAx=ax12+4x22+bx32-4x1x2+4x1x3-8x2x3矩阵A的特征向量，求正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换．

admin2016-10-20 39

问题已知α=(1，-2，2)^T是二次型x^TAx=ax₁²+4x₂²+bx₃²-4x₁x₂+4x₁x₃-8x₂x₃矩阵A的特征向量，求正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换．

选项

答案二次型矩阵A=[*]．设α=(1，-2，2)^T是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则 [*] 可知矩阵A的特征值为0，0，9．对λ=0，由(0E-A)x=0得基础解系α₁=(2，1，0)^T，α₂=(-2，0，1)^T．因为α₁，α₂不正交，故需Sehmidt正交化，即 [*] 把β₁，β₂，α单位化，得 [*] 那么经正交变换 [*] 因此，二次型化为标准形x^TAx=y^TAy=9y₃²．

解析

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考研数学三

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