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在上半平面求一条凹曲线(图6.2),使其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.
在上半平面求一条凹曲线(图6.2),使其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.
admin
2018-11-21
34
问题
在上半平面求一条凹曲线(图6.2),使其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.
选项
答案
若将此曲线记为y=f(x),则依曲率计算公式,并注意曲线凹凸性的假设,即要求y"≥0,故曲率K=[*]。 再由于过(x,f(x))点的法线方程为X一x+f’(x)[Y一f(x)]=0. 它与x轴交点Q的横坐标X
0
=x+f’(x)f(x),所以,线段[*]的长度 [*] 这样,由题设该曲线所满足的微分方程及初始条件即为 [*] y(1)=1,y’(1)=0. 解二阶方程的初值问题[*]得 y=[*](e
x—1
+e
1—x
).
解析
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考研数学一
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