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  3. 设L：+y2=1(x≥0，y≥0)，过L上一点作切线，求切线与抛物线所围成面积的最小值．

设L：+y2=1(x≥0，y≥0)，过L上一点作切线，求切线与抛物线所围成面积的最小值．

admin2016-03-26  26
问题 设L：+y2=1(x≥0，y≥0)，过L上一点作切线，求切线与抛物线所围成面积的最小值．
选项
答案首先求切线与坐标轴围成的面积 设M(x，y)∈L，过点M的L的切线方程为[*]X+yY=1. 令Y=0，得X=[*]，切线与x轴的交点为P([*]，0)； 令X=0，得Y=[*]，切线与y轴交点为Q(0，[*])， 切线与椭圆围成的图形面积为S(x，y)=[*]． 其次求最优解 方法一：设F(x，y，λ)=xy+λ([*]+y2—1)， 令 F’x=[*]+y=0， ① F’y=x+2λy=0， ② F’λ=[*]+y2=0， ③ 由D=[*]=λ2－1=0，λ=－1，(λ=1舍去）， 代入①，得y=[*]，再代入③，得[*]，于是最小面积为S=2一[*]． 方法二：由①，②，得y=一[*]x，x=一2λy， 两式相除，得([*])2=[*]或y=[*]，代入③，得[*] 于是最小面积为S=2一[*]． 方法三：令L:[*](0≤t≤[*])，S=[*]， 当t=[*]时所围成的面积的最小，且最小值为S=2一[*].
解析
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考研数学三

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