2. 专升本
  3. 求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3)．

求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3)．

admin2016-03-02  9
问题 求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3)．
选项
答案(莱布尼兹公式)令u=x2，v=ln(1+x)，则u′=2x，u″=2，u(n)=0(n≥3) 故由莱布尼兹公式(uv)(n)=[*]u(k)v(n－k)可知 (uv)(n)=[*]u(k)v(n－k)=[*]u(0)v(n)＋[*]u(1)v(n－1)＋[*]u(2)v(n－2)=x2[ln(1＋x)](n)＋2nx[ln(1+x)](n－1)＋n(n一1)[ln(1＋x)](n－2) 又因为[ln(1＋x)](n)=(－1)(n－1)[*]，故当n≥3时，f(n)(x)＝x2(－1)(n－1)[*]＋n(n－1)(－1)(n－3)[*] 因此f(n)(0)=(－1)(n－3)!n(n－1)=[*]
解析
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