设a＞0，函数f(x)在[0，+∞)上连续有界．证明：微分方程yˊ+ay=f(x)的解在[0，+∞)上有界．

admin2016-09-13 37

问题设a＞0，函数f(x)在[0，+∞)上连续有界．证明：微分方程yˊ+ay=f(x)的解在[0，+∞)上有界．

选项

答案原方程的通解为、 y(x)=e^－ax(C+∫₀^xf(t)e^atdt)，设f(x)在[0，+∞)上的上界为M，即｜f(x)｜≤M，则当x≥0时，有 y(x)｜=｜e^－ax(C+∫₀^xf(t)e^atdt)｜ ≤｜Ce^－ax｜+e^－ax｜∫₀^xf(t)e^atdt ≤｜C｜+Me^－ax∫₀^xe^atdt =｜C｜+[*](1－e^－at) ≤｜C｜+[*]，即y(x)在[0，+∞)上有界．

解析

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考研数学三

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写出下列曲线绕指定轴旋转所生成的旋转曲面的方程：(1)xOy平面上的抛物线z2＝5x绕x轴旋转；(2)xOy平面上的双曲线4x2－9y2＝36绕y轴旋转；(3)xOy平面上的圆(x－2)2＋y2＝1绕y轴旋转；(4)yOz平面上的直线2y－3z＋1
根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的收敛性，并求出其中收敛级数的和：
设水以常速(即单位时间注入的水的体积为常数)注入图2．7所示的罐中，直至将水罐注满．画出水位高度随时问变化的函数y＝y(t)的图形(不要求精确图形，但应画出曲线的凹凸方向并表示出拐点)．
(1)如果点P(x，y)以不同的方式趋于Po(xo，yo)时，f(x，y)趋于不同的常数，则函数f(x，y)在po(xo，yo)处的二重极限____________．(2)函数f(x，y)在点(xo，yo)连续是函数在该点处可微分的___________
设f(x)=ln10x，g(x)=x，h(x)=ex/10，则当x充分大时有
设f(x)，g(x)在区间[-a，a](a>0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(-x)=A(A为常数)．利用（1）的结论计算定积分；
设则当x→0时，f(x)是g(x)的()．
已知f(x)是微分方程xf’(x)-f(x)=满足f(1)=0的特解，则∫01f(x)dx=_________．
设平面区域D是由坐标为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)的四个点围成的正方形，今向D内随机地投入10个点，求这10个点中至少有2个点落在曲线y=x2与直线y=x所围成的区域D1内的概率．

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