2. 考研
  3. 设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm，若存在两组不全为零的数λ1，…，λm和k1，…，km，使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm+(λ1一k1)β1+…+(λm一km)βm=0，则【 】

设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm，若存在两组不全为零的数λ1，…，λm和k1，…，km，使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm+(λ1一k1)β1+…+(λm一km)βm=0，则【 】

admin2015-09-12  31
问题 设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm，若存在两组不全为零的数λ1，…，λm和k1，…，km，使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm+(λ1一k1)β1+…+(λm一km)βm=0，则【    】
选项 A、α1，…，αm和β1，…，βm都线性相关．
B、α1，…，αm和β1，…，βm都线性无关．
C、α1+β1，…，αm+βm，α1一β1，…，αm一βm线性无关．
D、α1+β1，…，αm+βm，α1—β1，…，αm一βm线性相关．
答案D
解析 由题设等式，得
    λ1(α1+β1)+…+λm(αm+βm)+k1(α1一β1)+…km(αm一βm)=0且λ1，…，λm，k1，…，km不全为零，故向量组α1+β1，…，αm+βm，α1一β1，…，αm一βm线性相关。
本题主要考查向量组线性相关的定义．注意，本题备选项是关于“线性相关”或“线性无关”的结论，题设条件显然不能推出某组线性无关的结论，故只需考虑是哪个向量组线性相关，而题设等式又可整理成 (D)中向量的系数不全为零的线性组合等于零，即知(D)正确．当然也可举例说明(A)不对，排除(A)后就只有(D)正确了．
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考研数学三

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