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(2002年)设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D={(x,y)|x2+y2一xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75一x2一y2+xy 现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起
(2002年)设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D={(x,y)|x2+y2一xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75一x2一y2+xy 现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起
admin
2018-07-01
26
问题
(2002年)设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D={(x,y)|x
2
+y
2
一xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75一x
2
一y
2
+xy
现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在D的边界曲线x
2
+y
2
一xy=75上找出使(1)中的g(x,y)达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.
选项
答案
令f(x,y)=g
2
(x,y)=5x
2
+5y
2
一8xy 由题意,只需求f(x,y)在约束条件75一x
2
一y
2
+xy=0下的最大值点.令 L(x,y,λ)=5x
2
+5y
2
一8xy+λ(75一x
2
一y
2
+xy) 则 [*] ①式与②式相加可得 (x+y)(2一λ)=0 从而得y=一x或λ=2 若λ=2,则由①式得y=x,再由③式得[*] 若y=一x,则由③式得x=±5,[*]. 于是得到四个可能的极值点 M
1
(5,一5),M
2
(一5.5),[*] 由于f(M
1
)=f(M
2
)=450,f(M
3
)=f(M
4
)=150 故 M
1
(5,一5)或M
2
(一5,5)可作为攀登的起点.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/Mz2RFFFM
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考研数学一
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