设α1,α2,α3,α4是四维非零列向量组,A=(α1,α2,α3,α4),A*为A的伴随矩阵。已知方程组Ax=0的基础解系为k(1,0,2,0)T,则A*x=0的基础解系为( )

admin2017-10-12  30

问题 设α1,α2,α3,α4是四维非零列向量组,A=(α1,α2,α3,α4),A*为A的伴随矩阵。已知方程组Ax=0的基础解系为k(1,0,2,0)T,则A*x=0的基础解系为(    )

选项 A、α1,α2,α3
B、α12,α23,α13
C、α2,α3,α4
D、α12233441

答案C

解析 方程组Ax=0的基础解系只含一个解向量,所以四阶方阵A的秩r(A)=4—1=3,则其伴随矩阵A*的秩r(A*)=1,于是方程组A*x=0的基础解系含有三个线性无关的解向量。
又A*(α1,α2,α3,α4)=A*A=|A|E=0,所以向量α1,α2,α3,α4都是方程组A*x=0的解。将(1,0,2,0)T代入方程组Ax=0可得α1+2α3=0,这说明α1可由向量组α2,α3,α4线性表出,而向量组α1,α2,α3,α4的秩等于3,所以向量组α2,α3,α4必线性无关。所以选C。
事实上,由α1+2α3=0可知向量组α1,α2,α3线性相关,选项A不正确;显然,选项B中的向量都能被α1,α2,α3线性表出,说明向量组α12,α23,α13线性相关,选项B不正确;而选项D中的向量组含有四个向量,不是基础解系,所以选型D也不正确。
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