在球面x2+y2+z2=5R2(x＞0，y＞0，z＞0)上，求函数f(x，y，z)=ln x+ln y+3ln z的最大值，并利用所得结果证明不等式

admin2015-07-22 40

问题在球面x²+y²+z²=5R²(x＞0，y＞0，z＞0)上，求函数f(x，y，z)=ln x+ln y+3ln z的最大值，并利用所得结果证明不等式

选项

答案作拉格朗日函数 L(x，y，z，λ)=ln x+ln y+3ln z+λ(x²+y²+z²一5R²)，并令 [*] 由前3式得x²=y²=[*]，代入第4式得可疑点 [*] 因xyz³在有界闭集x²+y²+z²=5R² (x≥0，y≥0，z≥0)上必有最大值，且最大值必在x＞0，y＞0，z＞0取得，故f=ln xyz³在x²+y²+z²=5R²也有最大值，而[*]唯一，故最大值为 [*] 又ln x+ln y+3ln z≤[*]，故x²y²z²≤27R¹⁰．令x²=a，y²=b，z²=c，又知x²+y²+x²=5R²，则abc³≤[*] (a＞0，b＞0，C＞0)．

解析

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考研数学三

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