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  3. 设四元齐次线性方程组（1）为 而已知另一四元齐次线性方程组（2）的一个基础解系为 α1=（2，—1，a+2，1）T，α2=（—1，2，4，a+8）T （Ⅰ）求方程组（1）的一个基础解系； （Ⅱ）当a为何值时，方程组（1）与（2）有非零公共解？并求出所有非

设四元齐次线性方程组（1）为 而已知另一四元齐次线性方程组（2）的一个基础解系为 α1=（2，—1，a+2，1）T，α2=（—1，2，4，a+8）T （Ⅰ）求方程组（1）的一个基础解系； （Ⅱ）当a为何值时，方程组（1）与（2）有非零公共解？并求出所有非

admin2017-01-21  29
问题 设四元齐次线性方程组（1）为

而已知另一四元齐次线性方程组（2）的一个基础解系为
α1=（2，—1，a+2，1）T，α2=（—1，2，4，a+8）T
（Ⅰ）求方程组（1）的一个基础解系；
（Ⅱ）当a为何值时，方程组（1）与（2）有非零公共解？并求出所有非零公共解。
选项
答案（Ⅰ）对方程组（1）的系数矩阵作初等行变换，有 [*] 则n—r（A）=4—2=2，基础解系由两个线性无关的解向量构成。取x3，x4为自由变量，得 β1=（5，—3，1，0）T，β2=（—3，2，0，1）T 是方程组（1）的基础解系。 （Ⅱ）设η是方程组（1）与（2）的非零公共解，则 η=k1β1+k2β2=l1α1+l2α2，其中k1，k2与l1，l2均是不全为0的常数。 由k1β1+k2β2—l1α1—l2α2=0，得齐次方程组 [*] 对方程组（3）的系数矩阵作初等行变换，有 [*] 当a≠—1时，方程组（3）的系数矩阵变为 [*] 可知方程组（3）只有零解，即k1=k2=l1=l2=0，于是η=0，不合题意。 当a=—1时，方程组（3）系数矩阵变为 [*] 解得k1=l1+4l2，k2=l1+7l2。 于是η=（l1+4l2）β1+（l1+7l2）β2=l1α1+l2α2。 所以当a=一1时，方程组（1）与（2）有非零公共解，且公共解是 l1（2，—1，1，1）T+l2（—1，2，4，7）T，l1，l2为任意常数。
解析
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考研数学三

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